Misalkan a1, a2 dan a3 adalah bilangan-bilangan positip dan diketahui persamaan vektor a = a1i+ a2j + a3k, maka panjang vektor a secara geometris dapat digambarkan:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHjdgxwNAVRn1iX83IgTDDGswPnzQVr3v8hnzlmg0svtX9WG5gQVs6HXAd-aZYZda-Sgvjyutq7B3CCgkby5fb8u5K6TjKHDpblg0Z4lAY3OVd6usZVz9kravImJRf27osqqtqB8BXhBc/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+1.JPG)
Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjph3YKD4eIdfL_cMlwo3hmnq_X-e8iuUthEzSfmIt1H1hoALvQbw8srjD54tqFReT8lzcK_kXV6yo3WR0XbNEZFA69NMK9TrH50YuZ-T91PdQkaLwuPvmI4IsyhbmDKDbYotv2C6gGEs8/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+2.JPG)
Sedangkan untuk A(Ax, Ay, Az) dan B(Bx, By, Bz) maka panjang vektor AB dirumuskan
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGKJCnFauBIWBg1nhq3DcOqS5x1TIRbmAknbIDh_PMQySFBlYGHRbkimiN8B7GEsoZOZKRyO0BlacAmfUOWtJWwS92rWLebW1qJUMKNZ2u8dgIq9G-4ndMHFoDSEqzLYGhQugRnect7Xo/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+3.JPG)
Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8VVwgE7g5t-kA-VLdDAuPoygzoBmQ4_Cfl8c6nzJSMf0EMBH6bsfdSIYHCNu-Ajfe2BN1dYUe30KTud3AIpIEYeoSltrpCsjaJgRBspjQDUI3S7l7XJmEyvrMUreaSe2sAByaWOrVENk/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+4.JPG)
Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIu9n25TW8vuaa_W9XeafvTXOFBbSOqOtT_w5Qz9Z9AhpHx0ksNrMq-G9BNvR39Ghm-6CMVvGbcs2lJXq3-4c3QvxQl6u9CAY8KpXwmJIXtoveNxoTiyuBfHjU5RnDYBnKussCN0mWlRw/s640/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+5.JPG)
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka perkalian skalar a dan b secara geometris didefinisikan:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixNw-xG4Vyb331sihi8UfMS2kYvXmi7sJlfA707jipz2TD_XNXHPbify2PLuKiPMYVzPEKS4p9JSMadWLXnScXrf3KPSUvDDeO5uUA49iquRCso7uoESp2CfaWV7ycQ6hGYxxN2yoIP9g/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+6.JPG)
Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOUJQ1vloGdMFd1ad8RA0PFYjP0Ss96UEmmmLlbtPuog2G6LD-L7qEkHiShDGHkz6MVwnrAVLaNmR6CAjUr4QR9xRjyX1fRd3IhfRyV4JkNLW007rT_xggZzoCzMzh6U4y7CRPOMhlRZM/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+7.JPG)
Sedangkan secara analitis perkalian skalar dua vektor a dan b didapat dengan cara:![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjM9HZ4br16Q1g4hWv2CadeocVGKNS56jvwf6-ujYJiwxcQexARdT7tRjbyCRt98lkgsXgQxyASkPUGXfNNvqdIyxWM4W5lFZNFnxXI1ycGIOgjkOzm-fUUP_xoLHv4jP9x4J2R7C2Q76k/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+8.JPG)
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di bawah,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfvyDxH0oL_bfZUEF8-RMgecNXqFMGP9wsY2K4C82hFHYmY9S-Z95oUbvb3-aQ4mi_Atn894EDGv9jP60cxqfn-MqJ6oguxWbOr5UJKRoTnyc0HwWSeCvCStSBR3QMb6p1OPzH28OEBZk/s1600/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+9.JPG)
Tentukanlah nilai a . b
Jawab
Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar menjadi
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNVaUIDGQUwSBz1WNPKqlBClvpXmpTW0srQfNy2reUDcTKkNpV-UWh-Yu7eczpqkYMxTLXWHsh2Df6S1-5Y8CuApEHmn-Ck1JlRYe9j3FWAr3PCkoOpc25t2JS_FLFOnKMlZN-7qwb8FE/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+10.JPG)
02. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjf1xDXnxBu1KFk-GXPJWdZgmAe53X569jISBOqMJVnCm-C58rY9o-oiKDZXLgvm4Bq18BC9onD60Y7TgdXuM-iKcLDZzRdoG9_41V_7qEQtzg5GsbHLS2jnx49IUEqsRWuM-riLnMx4F8/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+11.JPG)
03. Jika diketahui vektor a dan b dimana a = 4 cm dan b = 5 cm serta <( a , b ) = 600 maka tentukanlah nilai |b - a|
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaOhQsMXLJ7aKiYuFW1PVTqtM2OL_TGwxzznjUt_lLyhT4jpt3v7OFLaC5DatePR0KmUPbiQIzOyOmZlWG31IEIzxGBxWcw_sQ8MZs5XAd7CvbsX9dXkN8ERh9dNwDjMy-hICP3Y4PrWI/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+12.JPG)
04. Diketahui dua vektor a = 3 i – 3 j + 5 k dan b = 4 i – 5 j + 3 k . Maka tentukanlah nilai a . b
Jawab
a . b = (3)(4) + (–3)( –5) + (5)(3)
a . b = 12 + 15 + 15
a . b = 42
05. Diketahui tiga titik A(4, -1, 2), B(5, 2, 5) dan C(-3, 4, 0). Tentukanlah nilai AB . AC
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcybTScj7bJjLxtRcaNy7hiq03GZzvAeCJtl7Wr6u4j-vwcaFUF6ANiX3jjG7Ga3uiyqDfJtrv0LV77szn8YSp5jpz9cjnAURHFdL-7_nJXKCJ9qnTBEdZdaGeMOvdMPHV1VVDAirOUs0/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+13.JPG)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOJjT1ICogLes3y_Nn4pPkMdkNLbc8NbC8Ro5SVSRuVXfKwhE-QDdTxZYZfV9wa9UESaLAeOWcEDfF319ZacB6c9jEjcHkZ_Av7TpjtH4Ht01CeiSa0QFBch9i9csBe3RtrHfO-aNgdkI/s640/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+14.JPG)
06. Diketahui P(2, 2x, 0), Q(–1, 1, –7) dan R(3x, 3, x). Jika PQ . PR = –23 maka tentukanlah nilai x
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXhkasJyNITG5QbPfPfMgX3reG-d-Y8-kdrmG24rHHEwmffQ3_nhzx5nrGWQ_yn86dhOniwhHPfvN1ioo0FaZIGjxFyorUrrz2lPSOO1MXRusuxD61y-NRvyGbIwxTqTSisXd4k2eaQVY/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+15.JPG)
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka sudut antara a dan b didapat dengan menurunkan rumus perkalian skalar dua vektor, yaitu:
Jika dan tegak lurus, maka sudut antara a dan b adalah 90o sehingga:
Jadi jika vektor a tegak lurus vektor b maka a . b = 0.
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui vektor dan dimana |a| = 3 cm dan |b| = 4 cm. Jika a . b = –6 maka tentukanlah besar sudut antara a dan b
Jawab
a . b = cos α
–6 = (3)(4) cos α
–6 = 12 cos α
cos α = – ½
maka = 120o
02. Diketahui tiga titik A(2, 1, 0), B(–1, –3, 5) dan C(2, 3, 2). Jika α adalah sudut antara AB dan AC maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7XhKikk8tgwY0Bbo2BdUfSPXyBECdI_Da91W8dupQqDTuz7XMfOrqFRuSo1ZK5t8mnkHwe7iN8sdBkwffnaqMcfnOhjuF_mNh3aAcjQTSckCYfpwP4xMWieMZvZwTnFUp6idYeRi1LYE/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+17.JPG)
03. Diketahui vektor
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidxXcW8_ArXdyJvRD1s9OtCTC3DM8VYAIu5mhvZ_dr26ToIWQQVC6Bmqw_VyWFGELSYlDZlGxi2GiLpPwQC6M_01nHT617j0k7f-qlEacZ5k9MT9RqA0I9RnKhT8HTOFnnTPmkVkWoDHY/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+18.JPG)
Jika a tegak lurus b maka tentukanlah nilai x
Jawab
Jika a vektor tegak b lurus vektor maka a . b = 0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7UfMX7Ur7TBw6-QaucXAdqr7KUQhgdVMDoVyftHNLegxQBdEtwVk-lu53zmgSCGKsprLy4dLdZCdIDMyCo2O00OKGnnubfPhWAX4LLcmvhHJBsmxKQFclMAHajgShNPtpNILBC8fLwuk/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+19.JPG)
04. Diketahui vektor a dan b dimana |a| = 6 cm dan |b| = 4 cm serta |a + b| = 8 cm. Jika α adalah sudut antara a dan b, maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz9k04XN6PyKTEhJjZsz3q1yaPxpaLbD1hBTqGZH9Qe_UXrHnF195jC7Orn5leIuDt8_2wFZAmR4Q4Z722c-aSZK7AoPSRg7vt1yoWNWLojJJ_qFBuzQeP2CLnYwXLwLKPiLlqVmDc6ho/s1600/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+20.JPG)
Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu:
Sedangkan untuk A(Ax, Ay, Az) dan B(Bx, By, Bz) maka panjang vektor AB dirumuskan
Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah
Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat:
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka perkalian skalar a dan b secara geometris didefinisikan:
Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.
Sedangkan secara analitis perkalian skalar dua vektor a dan b didapat dengan cara:
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di bawah,
Tentukanlah nilai a . b
Jawab
Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar menjadi
02. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b
Jawab
03. Jika diketahui vektor a dan b dimana a = 4 cm dan b = 5 cm serta <( a , b ) = 600 maka tentukanlah nilai |b - a|
Jawab
04. Diketahui dua vektor a = 3 i – 3 j + 5 k dan b = 4 i – 5 j + 3 k . Maka tentukanlah nilai a . b
Jawab
a . b = (3)(4) + (–3)( –5) + (5)(3)
a . b = 12 + 15 + 15
a . b = 42
05. Diketahui tiga titik A(4, -1, 2), B(5, 2, 5) dan C(-3, 4, 0). Tentukanlah nilai AB . AC
Jawab
06. Diketahui P(2, 2x, 0), Q(–1, 1, –7) dan R(3x, 3, x). Jika PQ . PR = –23 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka sudut antara a dan b didapat dengan menurunkan rumus perkalian skalar dua vektor, yaitu:
Jadi jika vektor a tegak lurus vektor b maka a . b = 0.
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui vektor dan dimana |a| = 3 cm dan |b| = 4 cm. Jika a . b = –6 maka tentukanlah besar sudut antara a dan b
Jawab
a . b = cos α
–6 = (3)(4) cos α
–6 = 12 cos α
cos α = – ½
maka = 120o
02. Diketahui tiga titik A(2, 1, 0), B(–1, –3, 5) dan C(2, 3, 2). Jika α adalah sudut antara AB dan AC maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
03. Diketahui vektor
Jika a tegak lurus b maka tentukanlah nilai x
Jawab
Jika a vektor tegak b lurus vektor maka a . b = 0
04. Diketahui vektor a dan b dimana |a| = 6 cm dan |b| = 4 cm serta |a + b| = 8 cm. Jika α adalah sudut antara a dan b, maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
0 komentar
Posting Komentar