Pembagian polinom pada prinsipnya bersesuaian dengan pembagian pada bilangan. Sebagai contoh akan kita lakukan pembagian 623 dengan 3 sebagai berikut:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxBMAqz1-8elo7S5plmKksU9r-0C4lKz5iZqg28O0Dz-SQNh6ptcW7ppQzaH5FWUmRgYPzmAKSTdV0NQzkANrcYcFK9DbrRZq9jM9KY8ASGgxRo0hPXST1u3QO5ihiVhzoD9O_EHxOEiA/s400/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+1.JPG)
Pembagian dengan cara diatas dinamakan metoda bersusun. Untuk pembagian polinom, prosesnya memenuhi juga aturan bersusun diatas.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicrqpu_h-MxdREECnN_OkAPesT9Jo7TIJB3oGsW6qW-DuYE2TsyKFpjG98iWIDxj8JNOy9KM2mSKuzKdBpGOAKXe5GPfi4sS7EQjWcjx7EtAXK3ps2itkuZF6uJXg-kWu7UMfVI8vYo20/s320/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+2.JPG)
Sebagai contoh akan dilakukan pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) sebagai berikut:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh3aOfj8W5WLrYKXLPNZ2sYf05VChpN4BchsiNqTLGgDIFYrYaGduqF_edL4ODXuwRxnuacx2axwvT_y1tpBoqiW9briyGG_B45z3fdLGmOvGu8MG-u4yDhR9FU4eJUWL5jBisCNv2sb0/s320/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+3.JPG)
Dalam hal ini :
x – 3 dinamakan pembagi
2x3 – 5x2 + 4x + 3 dinamakan yang dibagi
2x2 + x + 7 dinamakan hasil bagi
24 dinamakan sisa pembagian
Sehingga berlaku : 2x3 – 5x2 + 4x + 3 = (x – 3)( 2x2 + x + 7) + 24
Sehingga secara umum sifat dari pembagian polinom memenuhi aturan:
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Selain dengan metoda bersusun, pembagian polinom dapat juga dilakukan dengan skema Horner. Sebagai contoh akan dilakukan kembali pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) menggunakan metoda Horner sebagai berikut:
Sehingga didapatkan Hasil Bagi = 2x2 + 1x + 7 dan sisa = 24
Selanjutnya, penggunaan metoda Horner ini mengharuskan pembagi dikelompok- kan sebagai berikut:
a. Pembagian polinom dengan (x – k)
Jika polinom F(x) dibagi (x – k) akan memperoleh hasil bagi H(x) dan sisa s maka dalam hal ini berlaku sifat :
F(x) = (x – k)H(x) + s
Untuk x = k memenuhi
F(k) = (k – k)H(k) + s
F(k) = (0) + s
F(k) = s
Jadi Menurut Teorema Horner : Hasil bagi = H(x)
Sisa pembagian = F(k)
b. Pembagian polinom dengan (ax – b)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8yUrPtUyetWD3F6Z2SjSVQY2HmQ3eVSI1Zm36XbitaDpt-3DflPwH9WldkoC3tc9d-JdyPVvCghDl0k_4JutP4HJgOidBLzH7Pwn9f5tU1T07K1ZjFjZcrPllCgmAt13Q1J1LSYPXu_8/s400/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+4.JPG)
c. Pembagian polinom dengan (x – x1)(x – x2)
Jika polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian dengan dua kali tahapan Horner (Horner tingkat dua). Pada tingkat pertama F(x) dibagi dengan (x – x1) menghasilkan hasil bagi H1(x) dan sisa s1. Kemudian pada tingkat kedua hasil bagi H1(x) dibagi lagi dengan (x – x2) menghasilkan hasil bagi H2(x) dan sisa s2. Prosesnya adalah sebagai berikut :
F(x) = (x – x1)H1(x) + s1
F(x) = (x – x1) [(x – x2) H2(x) + s2 ] + s1
F(x) = (x – x1)(x – x2) H2(x) + (x – x1)s2 + s1
Bentuk terakhir ini menunjukkan polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan : Hasil bagi = H2(x)
Sisa pembagian = (x – x1)s2 + s1
d. Pembagian polinom dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Merunut dari bentuk c di atas maka hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom F(x) dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) didapat dari proses berikut:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR4HgVkwC_wkGRkarP0sooY43Fgve0UDivNd4wzV-AHmNuthsvvk7dXoY-6q-vY98k9Nvdxol9UsBC9a91-tZUVdQ3JD9QJRQ84rAK_iRPiME3sCoU0-mPAvNyT9X8Tl2aTQIBW3778s8/s400/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+5.JPG)
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (x3 – 3x2 – 5x – 3) : (x – 2) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghxkuhhIri-MPad8awFfEt20s0Hji5_meI_IE6wu0OGO-l_h1cuLEuxbkAEIwkp16HZkgp3KIAw8mDuXWqXhXCKnKG4LxvqZxSnLum1riMEOQLOMsunaONHRtzxh4eaODGN0VU92zzMjU/s200/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+6.JPG)
Jadi : Hasil bagi = x2 – x – 7
Sisa = –17
(b) Dengan skema Horner
Hasil Bagi = 1x2 – 1x – 7 = x2 – x – 7
Sisa = –17
02. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (4x4 + 3x2 – 2x + 5) : (2x – 1) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUSld5433wL-9iiLNF9xdkVl5O2vbs86BesBdDevtjgoqTqz2MCq49O3_vOyV0XPZ69mtGqRIY9Q_bROMasEWeRAUcUSCx-BeKTLA5lSSqFC64dvOBkXKaqcXui1sbfhmz4139FtyN0y4/s320/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+7.JPG)
(b) Dengan skema Horner
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0K-pmzMWxsiFoDB-G1Lm_KVJPwJMPJw1Yd1RJbCSByQQdraf19CCAZXjohimWVvRezsLQPfoMVSZCe4VChwmYsJ8pOJX-ivOi1k16wcU5F0Bu33CPkLtNgexKkWwyjeF96ytSEYnAYOA/s320/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+8.JPG)
03. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (x3 – 2x2 – 6x + 8) : (x2 – 9) dengan metoda
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
Jadi : Hasil bagi = x – 2
Sisa = 3x – 10
(b) Dengan skema Horner
Pembagi : x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
x1 = 3 dan x2 = –3
sehingga
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXhGGwcuR7rB354d5KYrdxpcZv7KPLIg9Lsy318TouY77lMpCmfucKRxwi39Ri-1NPab-KEHwCLcZ6RURpL4uY2LgKyp71XVhooIWSvfn8Mi1L-7oKlTolafeeLOkguT-0SQI1afBcEew/s320/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+9.JPG)
Hasil Bagi = x – 2
Sisa = (x – x1)s2 + s1
= (x – 3)3 + (–1)
= 3x – 9 – 1
= 3x – 10
04. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (2x4 + 3x3 – 12x2 – 13x + 5) : (2x2 + 3x – 2) dengan metoda Skema Horner
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiVpqj82HQd5L3sVnkCh6gULS-h4EOv6kRBIVb-xTbFMDTKPb6sLy956HM8dlPKxUNfMZ3ODNj6LrFtkiwxcWWw4J41EetJARsTEOjc_OvVRFJDM5twrfltxEoxCJ2WsFMtT_zbkUtJJY/s320/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+10.JPG)
05. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian (4x4 + 8x3 – 5x2 + 2x – 1) : (4x2 – 1) dengan metoda Skema Horner
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCiRFvUltF-OJ1Aw8X2VgtHWxV9kCe05vDRlgzwWy7DOkjTaZWnRgNupE9gVGFBGrF5qdmg8QL-IoJKzMI1s66hrJkKVIgzlCQJQuNXPfaljTqYmZAsatkEtshwLqm5khgv7Ib4dyACwg/s320/Operasi+Pembagian+Pada+Polinomial+11.JPG)
06. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (3x3 – 8x2 + 15x – 6) : (x2 – 2x + 5) dengan metoda pembagian Bersusun
Jawab
Pembagian dengan cara diatas dinamakan metoda bersusun. Untuk pembagian polinom, prosesnya memenuhi juga aturan bersusun diatas.
Sebagai contoh akan dilakukan pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) sebagai berikut:
Dalam hal ini :
x – 3 dinamakan pembagi
2x3 – 5x2 + 4x + 3 dinamakan yang dibagi
2x2 + x + 7 dinamakan hasil bagi
24 dinamakan sisa pembagian
Sehingga berlaku : 2x3 – 5x2 + 4x + 3 = (x – 3)( 2x2 + x + 7) + 24
Sehingga secara umum sifat dari pembagian polinom memenuhi aturan:
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Selain dengan metoda bersusun, pembagian polinom dapat juga dilakukan dengan skema Horner. Sebagai contoh akan dilakukan kembali pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) menggunakan metoda Horner sebagai berikut:
Sehingga didapatkan Hasil Bagi = 2x2 + 1x + 7 dan sisa = 24
Selanjutnya, penggunaan metoda Horner ini mengharuskan pembagi dikelompok- kan sebagai berikut:
a. Pembagian polinom dengan (x – k)
Jika polinom F(x) dibagi (x – k) akan memperoleh hasil bagi H(x) dan sisa s maka dalam hal ini berlaku sifat :
F(x) = (x – k)H(x) + s
Untuk x = k memenuhi
F(k) = (k – k)H(k) + s
F(k) = (0) + s
F(k) = s
Jadi Menurut Teorema Horner : Hasil bagi = H(x)
Sisa pembagian = F(k)
b. Pembagian polinom dengan (ax – b)
c. Pembagian polinom dengan (x – x1)(x – x2)
Jika polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian dengan dua kali tahapan Horner (Horner tingkat dua). Pada tingkat pertama F(x) dibagi dengan (x – x1) menghasilkan hasil bagi H1(x) dan sisa s1. Kemudian pada tingkat kedua hasil bagi H1(x) dibagi lagi dengan (x – x2) menghasilkan hasil bagi H2(x) dan sisa s2. Prosesnya adalah sebagai berikut :
F(x) = (x – x1)H1(x) + s1
F(x) = (x – x1) [(x – x2) H2(x) + s2 ] + s1
F(x) = (x – x1)(x – x2) H2(x) + (x – x1)s2 + s1
Bentuk terakhir ini menunjukkan polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan : Hasil bagi = H2(x)
Sisa pembagian = (x – x1)s2 + s1
d. Pembagian polinom dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Merunut dari bentuk c di atas maka hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom F(x) dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) didapat dari proses berikut:
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (x3 – 3x2 – 5x – 3) : (x – 2) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
Jadi : Hasil bagi = x2 – x – 7
Sisa = –17
(b) Dengan skema Horner
Hasil Bagi = 1x2 – 1x – 7 = x2 – x – 7
Sisa = –17
02. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (4x4 + 3x2 – 2x + 5) : (2x – 1) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
(b) Dengan skema Horner
03. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (x3 – 2x2 – 6x + 8) : (x2 – 9) dengan metoda
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
Jadi : Hasil bagi = x – 2
Sisa = 3x – 10
(b) Dengan skema Horner
Pembagi : x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
x1 = 3 dan x2 = –3
sehingga
Hasil Bagi = x – 2
Sisa = (x – x1)s2 + s1
= (x – 3)3 + (–1)
= 3x – 9 – 1
= 3x – 10
04. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (2x4 + 3x3 – 12x2 – 13x + 5) : (2x2 + 3x – 2) dengan metoda Skema Horner
Jawab
05. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian (4x4 + 8x3 – 5x2 + 2x – 1) : (4x2 – 1) dengan metoda Skema Horner
Jawab
06. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (3x3 – 8x2 + 15x – 6) : (x2 – 2x + 5) dengan metoda pembagian Bersusun
Jawab
0 komentar
Posting Komentar