Hubungan Dua Lingkaran

Kedudukan lingkaran L1 terhadap L2
ditentukan oleh nilai diskriminan D = b² – 4ac, hasil dari substitusi kedua persamaan lingkaran tersebut dengan ketentuan :
(1) Jika D > 0 kedua lingkaran berpotongan di dua titik
Dalam hal ini : r1 + r2 > P1P2

(2) Jika D = 0 kedua lingkaran bersinggungan di satu titik


(3) Jika D < 0 kedua lingkaran saling lepas

Sebagai contoh kedudukan lingkaran x² + y² – 8x + 6y + 1 = 0 terhadap lingkaran x² + y² + 4x + 2y – 7 = 0 adalah berpotongan di dua titik, karena:


Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:
01. Bagaimanakah kedudukan lingkaran x² + y² + 4x + 2y – 15 = 0 dan lingkaran x² + y² – 8x – 4y + 15 = 0
Jawab

 
 

02. Bagaimanakah kedudukan lingkaran x² + y² + 5x – 3y – 14 = 0 dan lingkaran x² + y² + 4x – 2y – 12 = 0 ? Jika berpotongan atau bersinggungan, tentukanlah titik potong atau titik singggungnya
Jawab



Garis Kuasa

Garis kuasa dua lingkaran adalah suatu garis yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran tersebut. Garis kuasa dua lingkaran selalu tegak lurus dengan garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran

Persamaan garis kuasa pada lingkaran L1 = x² + y² + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 = x² + y² + A2x + B2y + C2 = 0 dirumuskan:

(A1 – A2)x + (B1 – B2)y = (C2 – C1)

03. Tentukanlah persamaan garis kuasa yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran x² + y² – 10x + 4y + 20 = 0 dan x² + y² + 6x + 8y + 8 = 0
Jawab


04. Titik P(11, a) mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran x² + y² + 8x – 4y – 10 = 0 dan lingkaran x² + y² + 6x + 2y – 6 = 0, Tentukanlah nilai a
Jawab



Dua lingkaran L1 dan L2 dikatakan ortogonal jika kedua lingkaran itu saling berpotongan dimana terdapat garis singgung g dan h yang saling tegak lurus.

Sehingga berlaku: P1P2² = r1² + r2²

Sebagai contoh :
05. Jika dua lingkaran x² + y² + 8x – 10y + 5 = 0 dan x² + y² – 12x – 10y + p = 0 saling ortogonal, maka nilai tentukan nilai p
Jawab



Titik Kuasa terhadap tiga lingkaran  L1, L2 dan  L3 adalalah titik potong ketiga garis kuasa lingkaran-lingkaran itu, sehingga titik kuasa tersebut mempunyai kuasa sama terhadap ketiga lingkaran   L1, L2 dan  L3

Jika g adalah garis kuasa terhadap lingkaran  L1 dan L3
h adalah garis kuasa terhadap lingkaran L1 dan L2
s adalah garis kuasa terhadap lingkaran L2 dan  L3
maka P adalah titik kuasa terhadap lingkaran   L1, L2 dan  L3

Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini :

06. Tentukanlah titik kuasa terhadap tiga lingkaran
x² + y² + 5x + 3y – 7 = 0
x² + y² + 4x + 2y – 8 = 0
x² + y² + x + 4y + 4 = 0
Jawab

 

Garis singgung persekutuan pada dua lingkaran L1 dan L2 adalah suatu garis yang menyinggung L1 dan menyinggung pula L2. Terdapat dua macam garis singgung persekutuan, yaitu :

(1) Garis singung persekutuan luar

Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:


(2) Garis singgung persekutuan dalam

Panjang ruas garis persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:

Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini:

07. Jika g adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran x² + y² + 2x – 8y – 32 = 0 dan x² + y² – 10x – 24y + 168 = 0 serta A dan B adalah titik singgung g pada kedua lingkaran itu maka tentukanlah panjang ruas garis AB
Jawab

Rumus menentukan Panjang sabuk Lilitan pada dua lingkaran adalah sebagai berikut :

1. Panjang sabuk lilitan luar

Panjang sabuk lilitan luar minimal yang menghubungkan lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:


2. Panjang sabuk lilitan dalam

Panjang sabuk lilitan dalam minimal yang menghubungkan lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:


Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini:

08. Lingkaran L1 dan L2 masing-masing berjari-jari 8 cm dan 2 cm, serta jarak kedua pusat lingkaran itu sama dengan 12 cm. Tentukan panjang sabuk lilitan luar minimal yang diperlukan untuk menghubungkan lingkaran L1 dan L2
Jawab