Sabtu, 28 Oktober 2017

Konvers, Invers dan Kontraposisi

MaMaS Materi Matematika SMA
Misalkan p dan q suatu pernyataan, maka sebuah implikasi p → q akan mempunyai konvers, invers dan kontraposisi, yang didefinisikan :

Konversnya adalah : q → p
Inversnya adalah : –p → –q
Kontraposisinya adalah : –q → –p

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari setiap implikasi berikut ini :
(a) Jika Amir memancing ikan maka ia pergi ke danau Dendam
(b) Jika x habis dibagi 3 maka x bukan bilangan prima
(c) Jika Wati tidak sarapan pagi maka ia akan membeli bakso di sekolah
(d) Jika x bukan bilangan genap maka x tidak habis dibagi 2

Jawab
(a) Implikasi : Jika Amir memancing ikan maka ia pergi ke danau Dendam
Konvers : Jika Amir pergi ke danau Dendam maka ia memancing ikan
Invers : Jika Amir tidak memancing ikan maka ia tidak pergi ke danau Dendam
Kontraposisi : Jika Amir tidak pergi ke danau Dendam maka ia tidak memancing ikan

(b) Implikasi : Jika x habis dibagi 3 maka x bukan bilangan prima
Konvers : Jika x bukan bilangan prima maka x habis dibagi 3
Invers : Jika x tidak habis dibagi 3 maka x bilangan prima
Kontraposisi : Jika x bilangan prima maka x tidak habis dibagi 3

(c) Implikasi : Jika Wati tidak sarapan pagi maka ia akan membeli bakso di sekolah
Konvers : Jika Wati membeli bakso di sekolah maka ia tidak sarapan pagi
Invers : Jika Wati sarapan pagi maka ia tidak akan membeli bakso di sekolah
Kontraposisi : Jika Wati tidak membeli bakso di sekolah maka ia sarapan pagi

(d) Implikasi : Jika x bukan bilangan genap maka x tidak habis dibagi 2
Konvers : Jika x tidak habis dibagi 2 maka x bukan bilangan genap
Invers : Jika x bilangan genap maka x habis dibagi 2
Kontraposisi : Jika x habis dibagi 2 maka x bilangan genap

02. Tentukanlah nilai kebenaran untuk konvers, invers dan kontraposisi setiap implikasi berikut ini
(a) Jika 6 habis dibagi 3 maka 6 bilangan ganjil
(b) Jika 7 adalah bilangan prima maka Jakarta ibukota republik Indonesia
(c) Jika x habis dibagi 3 maka maka x habis pula dibagi 6
(d) Jika ABC adalah segitiga sama sisi maka ABC adalah segitiga sama kaki

Jawab
(a) Jika 6 habis dibagi 3 maka 6 bilangan ganjil
Misalkan
p : “6 habis dibagi 3” (Benar)
q : “6 bilangan ganjil” (Salah)
maka :
Konversnya : q → p ≡ S → B ≡ Benar
Inversnya : –p → –q ≡ S → B ≡ Benar
Kontraposisinya : –q → –p ≡ B → S ≡ Salah

(b) Jika 7 adalah bilangan prima maka Jakarta ibukota republik Indonesia
Misalkan
p : “7 adalah bilangan prima” (Benar)
q : “Jakarta ibukota republik Indonesia” (Benar)
maka :
Konversnya : q → p ≡ B → B ≡ Benar
Inversnya : –p → –q ≡ B → B ≡ Benar
Kontraposisinya : –q → –p ≡ B → B ≡ Benar

(c) Jika x habis dibagi 3 maka maka x habis pula dibagi 6
Misalkan
p : “x habis dibagi 3”
q : “x habis pula dibagi 6”
maka :
Konversnya
Jika x habis dibagi 6 maka maka x habis pula dibagi 3 (Salah)
Inversnya
Jika x tidak habis dibagi 3 maka maka x tidak habis pula dibagi 6 (Benar)
Kontraposisinya
Jika x tidak habis dibagi 6 maka maka x tidak habis pula dibagi 3 (Salah)

(d) Jika ABC adalah segitiga sama sisi maka ABC adalah segitiga sama kaki
Misalkan
p : “ABC adalah segitiga sama sisi”
q : “ABC adalah segitiga sama kaki”
maka :
Konversnya
Jika ABC adalah segitiga sama kaki maka ABC adalah segitiga sama sisi (Salah)
Inversnya
Jika ABC adalah bukan segitiga sama sisi maka ABC adalah bukan segitiga sama kaki (Salah)
Kontraposisinya
Jika ABC adalah bukan segitiga sama kaki maka ABC adalah bukan segitiga sama sisi (Benar)

Dari contoh soal diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa :
Implikasi ekivalen dengan kontraposisinya. Atau p → q ≡ –q → –p
Konvers ekivalen dengan inversnya. Atau q → p ≡ –p → –q

03. Diketahui implikasi : Jika Ahmad mengendarai sepeda motor maka ia memakai helm” Dari implikasi di atas tentukanlah :
(a) Negasi dari konversnya
(b) Negasi dari Inversnya
(c) Negasi dari Kontraposisinya

Jawab
Misalkan :
p : “Ahmad mengendarai sepeda motor”
q : “Ahmad memakai helm”
maka :
(a) Implikasi p → q negasinya p Ʌ –q
     Konvers q → p negasinya q Ʌ –p
Sehingga negasi dari konvers pernyataan di atas adalah :
“Ahmad memakai helm tetapi ia tidak mengendarai sepeda motor”

(b) Implikasi p → q negasinya p Ʌ –q
      Invers –p → –q negasinya –p Ʌ q
Sehingga negasi dari invers pernyataan di atas adalah :
“Ahmad tidak mengendarai sepeda motor tetapi ia memakai helm”

(c) Implikasi p → q negasinya p Ʌ –q
      Kontraposisi –q → –p negasinya –q Ʌ p
Sehingga negasi dari kontraposisi pernyataan di atas adalah :
“Ahmad tidak memakai helm tetapi ia mengendarai sepeda motor”

04. Diketahui implikasi : “Jika hari hujan maka Tuti ke sekolah memakai payung”
Dari implikasi di atas tentukanlah :
(a) Invers dari konversnya
(b) Kontraposisi dari inversnya
(c) Konvers dari kontraposisinya
Jawab

(a) Implikasi :
Jika hari hujan maka Tuti ke sekolah memakai payung
Konversnya :
Jika Tuti ke sekolah memakai payung maka hari hujan
Invers dari konversnya
Jika Tuti ke sekolah tidak memakai payung maka hari tidak hujan

(b) Implikasi :
Jika hari hujan maka Tuti ke sekolah memakai payung
Inversnya :
Jika hari tidak hujan maka Tuti ke sekolah tidak memakai payung
Kontraposisi dari inversnya
Jika Tuti ke sekolah memakai payung maka hari hujan

(c) Implikasi :
Jika hari hujan maka Tuti ke sekolah memakai payung
Kontraposisinya :
Jika Tuti ke sekolah tidak memakai payung maka hari tidak hujan
Konvers dari kontraposisinya
Jika hari tidak hujan maka Tuti ke sekolah tidak memakai payung

Dari contoh soal diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa :
Konvers dari inversnya ≡ Kontraposisi
Konvers dari Kontraposisinya ≡ Invers
Invers dari Konversnya ≡ Kontraposisi
Invers dari Kontraposisinya ≡ Konvers
Kontraposisi dari inversnya ≡ Konvers
Kontraposisi dari Konversnya ≡ Invers

0 komentar

Posting Komentar