Senin, 30 Oktober 2017

Barisan dan Deret Aritmatika

MaMaS Materi Matematika SMA
Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut sampai n suku dinamakan deret.
Barisan aritmatika adalah suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un–1 = beda (merupakan angka yang tetap)
Sehingga :
(1) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 adalah barisan aritmatika dengan beda 4
(2) 63, 58, 53, 48, … , 3 adalah barisan aritmatika dengan beda -5
(3) 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 adalah deret aritmatika dengan beda 3
(4) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … adalah deret aritmatika tak hingga dengan beda 2
Jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka diperoleh:

Jadi suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan :
Un = a + (n – 1)b
Sebagai contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Maka suku ke-6 dapat ditentukan dengan rumus :
U6 = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27

Untuk menentukan rumus jumlah sampai suku ke-n, dapat ditentukan dengan cara:
Sn = ½ n (a + Un)
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
Sebagai contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Maka suku ke-6 dapat ditentukan dengan rumus :
S6 = ½ 6 (a + U6) = ½ 6 (3 + 27) = 90
atau
S6 = ½ 6 [2a+(6+1)b] = ½ 6 [2 . 3 + (8)4] = 90

Jika suatu barisasn aritmatika diketahui n ganjil, maka suku tengah dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
Ut = ½ (a + Un)
Sebagai contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Jika barisan tersebut diteruskan sampai 15 suku, maka suku tengahnya dapat ditentukan dengan rumus
Ut = ½ (a + Un) = ½ [a + U15] = ½ [3 + (3 + (15 – 1)4)] = ½[6 + 56] = 31

Selanjutnya kita juga dapat merumuskan hubungan antara Un dan Sn , yakni :
Un = Sn – Sn–1

Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Diketahui barisan aritmatika 2, 7, 12, 17, 22, … Tentukanlah suku ke 15
Jawab
a = 2
b = 5
n = 15
maka
U15 = a + (15 – 1)b
U15  = 2 + (14)5
U15  = 2 + 70
U15  = 72

2. Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … , tentukanlah Jumlah sampai 13 suku pertama
Jawab
Diketahui 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Maka
a = 4
b = 3
n = 13
Sehingga:
S13 = ½ (13) [2a+(6+1)b] = ½ (13) [2 . 4 + (13)3] = ½ (13) [44] = 286

3. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke tiga adalah 12 dan suku ke enam adalah 27. Tentukanlah suku ke 9
Jawab
U3 = 12 →  a + (3 – 1)b = 12  →  a + 2b = 12 ………………………….. (1)
U6 = 27 →  a + (6 – 1)b = 27  →  a + 5b = 27 .. ….…………………….. (2)

sehingga a + 2(5) = 12 maka a = 2
Jadi
U9 = a + (9 – 1)b
U9 = 2 + (8)5
U9 = 42

4. Jika diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99
Maka :
a = 3
b = 5 – 3 = 2
Sn = 99
Sehingga:
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
99 =  ½ n [ 2(3) + (n – 1)2 ]
198 = n [ 6 + 2n – 2 ]
198 = n [ 4 + 2n ]
198 = 4n + 2n2
2n2 + 4n – 198 = 0
n2 + 2n – 99 = 0
(n – 9)(n + 11) = 0
n = 9
Jadi
x = U9
x = a + (9 – 1)b
x = 3 + (8)2
x = 19

5. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus Sn = 2n2 + 4n, maka tentukanlah suku ke 5
Jawab
Sn = 2n2 + 4n
Maka
S5 = 2(5)2 + 4(5) = 50 + 20 = 70
S4 = 2(4)2 + 4(4) = 32 + 16 = 48
Jadi U5 = S5 – S4 = 70 – 48 = 22

6. Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap awal bulan sebesear Rp. 200.000,-. Jika pada pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka berapakah banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ?
Jawab
Diketahui :
a = 600.000
b = 200.000
n = 11 (Dari Februari 2012 sampai Desember 2112 )
Maka U11 = a + (11 – 1)b = 600000 + (10)200000 = 2.600.000
Jadi banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember adalah Rp. 2.600.000

7. Suatu bioskop memiliki 10 deretan bangku. Pada deretan pertama ada 20 bangku. Pada deretan kedua ada 24 bangku. Pada deretan ketiga ada 28 bangku, dan seterusnya. Berapa banyak bangku dalam bioskop tersebut ?
Jawab
Diketahui :
n = 10
a = 20
b = 4
Ditanya : S10
Jawab :
Sn =  ½ n (2a + (n – 1)b)
S10 =  ½ 10 (2[20] + (10 – 1)4)
S10 = 5 (40 + 36)
S10 = 5 (76)
S10 = 385 bangku

0 komentar

Posting Komentar